By Hilgert J.
Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.
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F (x + h) f (x) x . a ✲ b x h Sei M ⊆ R und f : M → R eine Funktion sowie x ∈ M ein H¨aufungspunkt von M . F¨ ur 0 = h mit x + h ∈ M betrachtet man den Differenzenquotienten Qf,x : {h ∈ R | h = 0, x + h ∈ M } → R, h→ f (x + h) − f (x) h von f in x. Wenn der Grenzwert limh→0 Qf,x (h) existiert, dann nennt man ihn die Ableitung von f in x und sagt f ist differenzierbar in x. Wenn f in jedem Punkt von M differenzierbar ist, sagt man einfach, f : M → R ist differenzierbar.
Grenzwert ✲ a b .. .. .. ... ... ... ...... ......... ............... 1. 1 : (i) Die Funktion f : ]2, ∞[→ R, −(x − 2)2 |x − 2| + (x − 2) x→ hat in 2 den rechtsseitigen Grenzwert 0. y ✻ ❍ 2 ❍❍ ✲x ❍❍ (ii) F¨ ur a ∈ R bezeichnet man mit a die gr¨oßte ganze Zahl, die kleiner oder gleich a ist. Man nennt a den ganzzahligen Anteil von a. Dann hat die Funktion f : ]0, ∞[→ R, x→x 2 x + −2 x 2 in 0 den rechtsseitigen Grenzwert 0. ✻ 1 ♣ ♣ ♣ ♣ ♣n + r 2 1 n+r x 4 ✟✟ 2 ✟ ✟ ✟✟ ✟✟ 2 ✟ ✟✟ −2 ✲ ✟ betrachte die Werte f¨ ur x = 1 n+r mit n ∈ N und r ∈ [0, 1[ Analog zum rechtsseitigen Grenzwert kann man nat¨ urlich auch linksseitige und beidseitige Grenzwerte betrachten: Sei M ⊆ R eine Teilmenge und x0 ∈ R ein Punkt, f¨ ur den gilt ∀δ > 0 : ]x0 − δ, x0 [ ∩ M = ∅.
X ................... ....... ... ... .. ) Beweis: Idee: Betrachte das Supremum von Z := {c ∈ R | a ≤ c ≤ b, f : [a, c] → R beschr¨ankt}. 7 gibt es ein δ > 0 mit ∀ x ∈ [a, a + δ] : f (a) − 1 < f (x) < f (a) + 1. Sei x0 := sup{c ∈ R | a ≤ c ≤ b, f : [a, c] → R beschr¨ankt}. Dann gilt b ≥ x0 ≥ a + δ > a. Als n¨achstes wollen wir zeigen, daß x0 = b. 7, ein δ1 > 0 mit (∗) ∀ x ∈ [x0 − δ1 , x0 + δ1 ] : |f (x)| < |f (x0 )| + 1. y ✻ ........ ............. ......... ....................................