By Jürg Kramer
Dieses Buch richtet sich an Mathematikstudierende der ersten Semester und vermittelt einen ersten Einstieg in Elemente der Zahlentheorie und Algebra. Ausgehend von den natürlichen Zahlen werden systematisch die ganzen, rationalen, reellen, komplexen Zahlen konstruiert. Dazu werden jeweils die aus der Algebra benötigten Grundlagen bereitgestellt und unmittelbar angewendet. Zählen gehört zu einem der Uranliegen der Menschheit und die Entwicklung von Zahl- und Ziffernbegriffen nimmt in jeder Zivilisation ihren speziellen Platz ein. Die systematische Vermittlung des Zahlbegriffs erfolgt in einem wesentlichen Maße durch die Schule. Es ist Ziel und Hauptanliegen dieses Buches, Studierenden, und hierbei vor allem Lehramtsstudierenden, eine systematische Einführung in den Aufbau der Zahlbereiche von einem mathematisch-fachwissenschaftlichen Standpunkt aus mit Blick auf fachdidaktische Bezüge anzubieten.
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B) Überlegen Sie sich weitere Beispiele von Halbgruppen, die keine Monoide sind. 50 II Elemente der Gruppentheorie 2. Gruppen und Untergruppen Wir beginnen mit der wichtigen Definition einer Gruppe. 1. Ein Monoid ( G, ◦) mit neutralem Element e heißt Gruppe, falls zu jedem g ∈ G ein Element g ∈ G mit g ◦g = e = g◦g existiert. Das Element g heißt inverses Element zu g oder Inverses zu g. 2. In Analogie zur Eindeutigkeit des neutralen Elements eines Monoids lässt sich zeigen, dass auch das Inverse g eines Elements g einer Gruppe G eindeutig bestimmt ist.
Iii) Es sei n eine von Null verschiedene natürliche Zahl. Wir betrachten die Teilmenge Rn := {0, . . , n − 1} der ersten n natürlichen Zahlen. 1 eindeutig bestimmten Rest einer 1 Halbgruppen und Monoide 47 natürlichen Zahl c nach Division durch n mit Rn (c); es gilt Rn (c) ∈ Rn . Für zwei Zahlen a, b ∈ Rn setzen wir jetzt: ⊕ : Rn × Rn −→ Rn , geg. durch a ⊕ b := Rn ( a + b); : Rn × Rn −→ Rn , geg. durch a b := Rn ( a · b). (1) (2) Wir überlassen es dem Leser als Übungsaufgabe zu verifizieren, dass die Verknüpfungen ⊕ bzw.
A n −1 ], a n . In beiden Fällen überlegt man sich, dass die Reihenfolge, in der man die rekursive Bestimmung vornimmt, keine Rolle spielt. 13. Bestimmen Sie (2 880, 3 000, 3 240) und [36, 42, 49]. 14. Wir definieren: (i) Zwei natürliche Zahlen a, b heißen teilerfremd, wenn sie nur 1 als gemeinsamen Teiler haben. 40 I Die natürlichen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre Die natürlichen Zahlen a1 , . . , an heißen teilerfremd, wenn sie nur 1 als gemeinsamen Teiler haben. (iii) Die natürlichen Zahlen a1 , .