By MAESS
Dieses Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die in den letzten 15 Jahren an der Rostocker Universitiit fiir Mathematikstudenten, fiir Lehrerstudenten der Fach kombination Mathematik/Physik und gelegentlich auch fiir Rorer technischer Studien richtungen gehalten wurden. Die "Vorlesungen," das heiSt die durch zwei Ziffern gekennzeichneten Abschnitte, sind in der Regel induktiv aufgebaut., Einfiihrende Beispiele sollen zeigen, welche Probleme aus der Praxis zu der mathematischen Auf gabenstellung gefiihrt; haben, und motivieren, wie eine Losung gefunden werden kann und welche Schwierigkeiten dabei auftreten. AnschlieBend folgen theoretische Unter suchungen zur examine des Fehlers der erhaltenen Niiherungslosung, zur Konvergenz des Verfahrens und zu den benotigten Voraussetzungen. Das Buch richtet sich in erster Linie an Studenten, deren Studienplan die numeri sche Mathematik enthiilt, es ist aber auch fiir Studenten der Technik- und Natur wissenschaften und der Okonomie und fiir Praktiker gedacht, die sich, bedingt durch den stark zunehmenden Einsatz von Rechenanlagen, mit numerischen Fragen im Selbststudium beschiiftigen wollen. Dariiber hinaus werden auch Vertreter anderer mathematischer Disziplinen beim BHtttern feststellen, daB die numerische Mathe matik fiir sie interessante, bisher noch nicht zufriedenstellend 'geloste Aufgaben stellungen enthiilt, z. B. Probleme der zweckmiiBigen Beschreibung von Matrix strukturen, der Bandbreitenreduzierung und Kompaktspeicherung fiir die diskrete Mathematik und die Bestimmung realistischer Fehlerschranken fiir Niiherungslosun gen komplizierter Probleme fiir die research. Einige grundlegende Abschnitte sind bewuBt sehr elementar gehalten. Es werden ledigIich Grundkenntnisse aus der linearen Algebra und' der research vorausgesetzt.
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Example text
N~l Folglich ist die rnaximale Zeilenbetragssl1mrne eine der Maximumfiorm zugeordnete Matrixnorm: IIAlloo := max k z", N z" : = 2: laknl (ZeilenSl1rnrnennorrn) . 27), N IIAlll := max 8", n 8" := 2: lalcnl (8palten811rnrnennorrn) . (24) k~l Zur Herleitung einer zur Euklidischen Vektornorm zugeordneten Matrixnonn benotigt man einige Hilfsmittel aus dem Gebiet der Matrizeneigenwertprobleme (Kap. 4). Geniigen die (reeHe oder komplexe) Zahl LX und der Nichtnullvektor y, y E IS/', der Gleichung Ay =LXy, (25) so heiBt ex Eigenwert und y Eigenvektor der N X N-Matrix A.
13. Man gebe Matrizen an, deren Struktur durch die Graphen in Abb. 6 beschrieben wird. Man transformiere die Matrix des "Geographen" durch Zeilen- und n (B C) . 14. 15. Man zeige: ist A. positiv definit, so sind die Diagonalelemente von A positiv. ;n = 0, k = 1(I)N. 1:16. Man zeige,: 1st die N X N-Matrix A symmetrisch und positiv semidefinit und ist der Hauptminor B : = AN -1, N -1 nichtsingular, so besitzt die Matrix A die Darstellung By ) yTB yTBy , A_ (B wo yeinen (N - l)dimensionalen Vektor bezeichnet.
6. 11. 6 nicht erfiillt. 12. 4. 13. ManberechneddsSkalarproduktvonuundvmitun := Ifnundvn := 1f(n+ 1) fiir n = 1(1)100 in m-stelliger und 2m-stelliger Gleitpunktarithmetik und mit Hilfe des Kahan-BabuSka-Tricks. 14. 13. 4. Intervallrechnung Die meisten Fehleraussagen des vorigen Abschnitts wurden unter VernachHissigung von Gliedern hoherer Ordhung hergeleitet, sie galten nur in erster Naherung. Solche Ergebnisse sind fur den strengen Mathematiker unbefriedigend. Korrekte Fehlerein'SchlieBungen ergeben ·sich, wenn man den gesamten Algorithmus "zweigleisig" durchfUhrt, d.