By Oswald Giering
VI zahlreiche Eigenschaften der Cayley/Klein-Raume bereitgestellt. AbschlieBend erfolgt im Rahmen der projektiven Standardmodelle eine Einflihrung in die Kurven- und Hyperflachentheorie der Cay ley/Klein-Raume (Kap. 21,22) und ein kurzgefaBtes Kapitel liber die differentialgeometrische Literatur mit einem Abschnitt liber Anwendungen der Cayley/Klein-Raume (Kap. 23). Zahlreiche Themen, die in den gebotenen Rahmen fallen, konnten nicht oder nur am Rande betrachtet werden. Dazu gehoren die af finen, axialen, biaxialen und symplektischen Raume, die zugeho rigen Geometrien sowie die Entwicklung und Verwendung von Spe zialkalklilen, etwa des Quaternionenkalklils. Auch ein detaillier tes Studium einzelner Cayley/Klein-Geometrien muBte unterbleiben. Hier konnen die Freunde spezieller Cayley/Klein-Geometrien nicht alle Erwartungen erflillt finden. Bemerkungen und die Abschnitte Blick in die Literatur versuchen jedoch, einerseits dem interes sierten Leser weiterzuhelfen und andererseits den Gebrauch des Literaturverzeichnisses zu erleichtern. Es enthalt vorbereitende, erganzende und weiterflihrende Literatur sowie Literatur, die in Teilaspekten mit der Stoffauswahl zusammenhangt. Es zeigt viel faltige Arbeitsrichtungen auf, gibt Anregungen und ladt zur Ver tiefung ein. Soweit es der Umfang des Buches erlaubte, wurden Aufgaben zur Einlibung des Stoffes eingefligt. Die Figuren sindflir alle Leser bestimmt, denen sie nlitzen. Jlingere Studenten, dieih re Raumanschauung und die Fahigkeit zur Interpretation von Figu ren noch nicht hinreichend entwickelt haben, mogen Figuren zu nachst nicht als Unterstlitzung des Textesempfinden. EinigeObun gen im Anschauungsraum werden jedoch genligen, umFiguren schatzen zu lernen. Der Stoff ist in 23 Kapitel gegliedert. Jedes Kapitel besteht aus Abschnitten (A, B, . . . ), einzelne Abschnitte bestehen aus - terabschnitten (1,2, . . . ).
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Ngen. ngigkeit an. 1), und der Index n-l von Qn-l die Dimension der Tangentenhyperebenen der Quadrik(D,Satz3) an. Wir nennen daher n-l die Dimension der Quadrik Qn-l. ~t sich zeigen1),da~ die quadratische Form F(x), x€ pn+l, durch die Nullstellenmenge F(x) = 0 bis auf einen konstanten Faktor A € K\ {O} eindeutig bestimmt ist. £t sich dies stets erreichen, insbesondere stets Uber K = G:. Wir vermerken dieses Ergebnis ohne Beweis in Satz 2: Eine Quadrik Qn-l:=' {X(x) € pnl F(x)=O} bestimmt eine quadratische Form F(x) und damit die zugehorige Bilinearform F(x,y) bis auf einen konstanten Faktor A € K\{O} eindeutig (eventuell erst Uber einem quadratisch genUgend erweiterten Korper K', K c: K', X(K)+2).
1 1. p genUgende Punl<1:Jrenge c c:p2(p3,K) he~t eine ebene atgebraische Kurve p-ter Ordnung. wenn sie nicht leer ist. Man gebe fUr p = 1,2,3 je ein Beispiel unj zeige: Der Begriff ebene atgebraische Kurve p-ter Ordnung ist projektiv invariant. 42 KAPITEL 3, DUALITATSPRINZIP, KORRELATIONEN A, DUALITATSPRINZIP DER PROJEKTIVEN RAUME Das Dualitatsprinzip der projektiven Raume folgt aus demDua- litatsprinzip der Vektorraume, das wir kurz vorstellen. raum pn+1 von pn+1. en Vektoren (oder Kovektoren) zu den Vektoren LL E pn+1.
5) Der Begriff DoppeLverhaLtnis von vier Punkten einer Geraden ist ersichtlich bei jeder bijektiven projektiven Abbildung K: pn _ Qn invariant. S: Die Invariantentheorie der projektiven Gruppe PGL(pn) auf pn (die Ermittlung der Projektivinvarianten auf pn) heiR>t das StandardmodeLL (pn,PGL(pn») der projektiven Geometrie. l ist jede Punktmenge, die sich auf das Standardmodell pn:={[xJlxEpn+l\[o]} der projektivenRaume bijektivabbilden laR>t, ein projektiver Raum. Die Invariantentheorie der projektiven Gruppe kann daher auf pn, aber auch auf jeder anderen, auf pn bijektiv abbildbaren Menge, also in jedem anderen Modell des proj ekti yen Raumes pn, entwickel t werden.