By Hans Sachs
Der allgemeine Begriff der m-dimensionalen isotropen Mannigfaltigkeit Vm eines kom plexen euklidischen Rn wurde von J. LENSE gepragt und fiihrte zu einer Reihe aufier ordentlich interessanter Untersuchungen (vgl. [92J - [104]). Spater hat M. PINL (vgl. [138J - [160]) diese Thematik unter Aspekten der Riemannschen Geometrie konsequent weiterentwickelt. 1st x = x( Ul, U2, . ., u ) eine m-dimensionale Riemannsche Mannig m faltigkeit Vm, die in einem komplexen eukHdischen Rn(Xl;.. ., xn) eingebettet ist und bezeichnet 8x (0. 1) 8u{3 ihren Mafitensor, so heifit Vm isotrop vom Rang r, wenn Rang (gcx{3) = r m gerne Vm als (m-r)-fach isotrop bezeich internet. Speziell fiir r = zero, d. h. g"'{3 == zero liegen sogenannnte vollisotrope Mannigfaltigkeiten vor, denn fiir das allgemeine Bogenelementquadrat (0. 2) 2 gilt hier ds == o. Diese vollisotropen Mannigfaltigkeiten wurden nicht nur von J. LENSE und M. PINL sondern auch von E. BOMPIANI (vgl. [13J - [17]) studiert. Allgemeine Einbettungsprobleme isotroper Mannigfaltigkeiten in regulare Riemannsche Raume hat vor allem W. O. VOGEL behandelt (vgl. [250J - [254]). Eine zusammen fassende Darstellung iiber den bisher angesprochenen Themenkomplex wird unabhangig von diesem Buch in shape einer Monographie von W. O. VOGEL publiziert werden.
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Example text
QlP2 - q2Pl v'(p~ + pn(q~ + qn cos,p= + P2q2 v'(p~ + pn(q~ + qn Plql -,~==~~~~~ einfach isotrope Invarianten. d wird als Abstand und,p als Winkel der beiden Geraden 110m Typ {3), dann sind die Ausdrilcke bezeichnet. 21a,b) _ a- q6 P6 v'q~ + q~ - v'p~ + p~ b _ zw. 8 - q3 Pa v'q~ + q~ - v'p~ + p~ 46 einfach isotrope Invarianten. a wird als Abstand und s als Sperrung der beiden Geraden bezeichnet. 22) eine einfach isotrope Invariante, genannt Abstand der beiden Geraden. 23) eine einfach isotrope Invariante, genannt Abstand der beiden vollisotropen Geraden.
2 Die einparametrigen U ntergruppen der isotropen Bewegungsgruppe B~I) und einige Anwendungen. Will man die einparametrigen Untergruppen einer Transformationsgruppe bestimmen ohne schwierige Hilfsmittel aus der Theorie der LIE-Gruppen anzuwenden (vgl. [108], [192, 24f], [245]), dann ist der folgende Satz, der in [180,169f] bzw. 1: Bildet eine einparametrige Schar von Tranl/ormationen i = F(i,T) eine Gruppe, dann wird hierdurch ein von T unabhiingigel Richtungl/eld definiert, d. h. el ellJidiert eine Parametertranl/ormation t = t(T), ,odaft ~: = g(i) nicht von t abliiingt.
Folgerungen: Hn 2 + n + 4)-parametrig. Mit ii = 1) Wie in [170,199ff) gezeigt wird, ist die Gruppe t = (alo, ... ,Itn-lO)" i = {iiil, ... ,iiin_d , ii = {:Ill, ... 77) { i = ii + ATii iiin = ano + anl:lll + ... + ann:ll n darstellen, wobei :Ill, ... ,:Il n und iiil, ... , iil n affine Koordinaten in An bezeichnen. 77) A = 1 und ann = 1 gesetzt, so erh81t man eine In(n+ 1)-parametrige Untergruppe 13 c Q, die man als n-dimensionale einfach isotrope Bewegungsgruppe des I~l) bezeichnen kann. Beziiglich der Bildung von Invarianten in der n-dimensionalen einfach isotropen Bewegungsgeometrie (I~l), 8) vergleiche man [170,201£).