By Jürgen Wolfart
Buchhandelstext
Eine kombinierte Einf?hrung in die Algebra bis zur Galoistheorie und ihren klassischen Anwendungen sowie in die Zahlentheorie. Dabei profitiert die Algebra von den Motivationen und dem reichen Beispielmaterial der Zahlentheorie; letztere gewinnt an Klarheit und K?rze durch Strukturen und S?tze der Algebra. Es wird solides Grundwissen f?r beide Gebiete vermittelt und gleichzeitig die Br?cke zu neuesten Entwicklungen geschlagen (z. B. diophantische Probleme, Faktorisierungsmethoden, inverses challenge der Galoistheorie).
Inhalt
Ganze Zahlen, Teilbarkeit - Gruppen - Ringe - Arithmetik modulo n - Primzahltests und Primfaktorzerlegung - K?rper und K?rpererweiterungen - Galoistheorie
Zielgruppe
Studenten ab dem three. Semester der Fachgebiete Mathematik und Informatik
?ber den Autor/Hrsg
Professor Dr. J?rgen Wolfart lehrt und forscht am Mathematischen Seminar der Universit?t Frankfurt/ major.
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Diese zu klassifizieren. Isomorphe Gruppen sollen dabei nicht als verschieden angesehen werden. Dann ist aus kombinatorischen Grunden klar, daB es fUr jede endliche Ordnung - bis auf Isomorphie - nur endlich viele verschiedene Gruppen geben kann. 12 Jede Gruppe der Ordnung p E IP' ist isomorph zur additiven Gruppe Z/pZ. t= N ach dem Eulerschen Satz kann jedes Element x e nur die Ordnung p haben, also ist dann < x > schon die ganze Gruppe. Fur diese zyklische Gruppe kennen wir bereits einen Isomorphismus auf Z/pZ .
Auch H N := {hg I hE H, 9 EN} ist Untergruppe von G und besitzt H als Untergruppe und N als N ormalteiler. Die ersten beiden Punkte folgen unmittelbar aus der Definition von Untergruppen bzw. Normalteilern. Zum Beweis des dritten wahle man zunachst ein voIlstandiges Repriisentantensystem {h;} der Rechtsrestklassen von H1 mod H2 und ein voIlstandiges Repriisentantensystem {gj} von G mod H1 und verifiziere dann, daB die Produkte hig j genau aIle Rechtsrestklassen von G mod H2 durchlaufen. Die Indexmengen bzw.
32 2 Gruppen Zum Beweis haben wir nach dem oben gesagten nur eine Einbettung von G in Sn zu konstruieren. Sei G = {aI, ... , an} und a E G . W. aaj = a,,(j) Vj E {I, ... , n} mit einem das naturlich von a abhiingt und das wir darum mit sofort nach, daB fur alle a, bEG Ua U E Sn , bezeichnen. Man rechnet richtig ist, daB also a ....... U a einen Homomorphismus G -+ Sn definiert, dessen Kern nach der Kurzungsregel nur aus e bestehen kann. Damit ist auch die Injektivitiit gesichert. 0 Definition (und Bemerkungen dazu): Eine Gruppe G heiBt zyklisch, wenn ein x E G so existiert, daB G ausschlieBlich aus Potenzen von x besteht (mit Exponenten in Z ).