• Algebra
  • Réduction des endomorphismes : Tableaux de Young, Cône by Rached Mneimné

    By Rached Mneimné

        La réduite de Jordan et les tableaux de younger constituent le thème relevant du présent ouvrage. l. a. maîtrise de l. a. réduction s’acquiert par un retour attentif et critique sur les fondements, depuis les valeurs propres jusqu’à los angeles géométrie des periods de similitude. Ainsi l’apparente complexité du cas nilpotent s’estompe-t-elle lorsque l’on se ramène à l. a. combinatoire élémentaire des tableaux de younger. Le chemin est alors libre vers l’apprentissage des représentations de l’algèbre de Lie des matrices d’ordre deux de hint nulle, véritable génome de l. a. théorie des représentations des algèbres de Lie semi-simples. Les liens subtils entre los angeles réduction de Jordan et les sl₂-triplets sont alors mis à contribution pour comprendre l. a. constitution des algèbres de Lie semi-simples, leurs sous-algèbres de Cartan et les systèmes de racines qui leur sont associés. Les représentations irréductibles de size finie de ces algèbres de Lie sont étudiées et apparaissent alors comme un développement naturel de los angeles réduction simultanée.

        Rached MNEIMNÉ est ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud et agrégé de mathématiques. Il est actuellement maître de conférences à l’Université Paris 7, Denis-Diderot, et membre de l’équipe « Théorie des groupes, représentations et applications » qui dépend de l’institut de mathématiques de Jussieu (UMR 7586). Il a publié en 1986, chez Hermann, avec Frédéric Testard, une creation à los angeles théorie des groupes de Lie classiques, et en 1997 un ouvrage sur les activities de groupes, chez Cassini, qui constitue le chapitre zéro de ses Éléments de géométrie.

    Public concerné : Licence, grasp – Agrégation

    Mathematics topic type (1991):
    – 13A50 Invariant theory
    – 14L30 staff activities on types or schemes (quotients)
    – 15-XX Linear and multilinear algebra; matrix theory
    – 17B10 illustration, algebraic thought (weights)

    Sommaire :

    1. Introduction

    2. Manipulations premières sur los angeles relation de similitude
        2.1. Similitude et rang
        2.2. Similitude et PG-équivalence
        2.3. Similitude et congruence
        2.4. Fonctions polynomiales invariantes
        2.5. Commutant d’une matrice et matrices de changement de base

    3. Valeurs propres. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal
        3.1. Généralités
        3.2. Valeur, vecteur et sous-espace propres
        3.3. Sous-espaces en somme directe et sous-espaces propres
        3.4. Matrices diagonalisables
        3.5. Le polynôme caractéristique
        3.6. Théorème de Cayley-Hamilton
        3.7. Théorème spectral et autre aspect de vue sur le théorème de Cayley-Hamilton
        3.8. Le théorème spectral – Deux démonstrations
        3.9. Discriminant du polynôme caractéristique

    4. los angeles partition de M(n, ℂ) en sessions de similitude
        4.1. los angeles partition donnée par l’égalité des polynômes caractéristiques
        4.2. Description des sessions de similitude d’une même classe modulo P

    5. l. a. suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young
        5.1. Une suite qui s’essouffle
        5.2. Tableaux de Young
        5.3. Tableau de younger associé à une valeur propre
        5.4. los angeles pratique de l. a. réduction de Jordan pour une matrice nilpotente
        5.5. los angeles pratique de los angeles réduction de Jordan pour une matrice quelconque

    6. Les matrices nilpotentes. Le cône nilpotent
        6.1. Matrices nilpotentes
        6.2. Filtration et gradué associés à un endomorphisme nilpotent
        6.3. Le cône nilpotent. L’exemple des matrices d’ordre 8
        6.4. Cône nilpotent et periods de similitude dans M(2, ℝ)

    7. los angeles réduction de Jordan pour elle-même
        7.1. Pratique et preuve
        7.2. preparations possibles d’une base de Jordan
        7.3. Degrés de liberté dans le choix d’une base de jordanisation. Les sl₂-triplets
        7.4. Réduction de Jordan potent de ad(J_n)

    8. Familles particulières de matrices. Les matrices de los angeles classe δ
        8.1. Une première classe
        8.2. Une seconde classe

    9. software. Racines carrées de matrices

    10. software au calcul de l. a. measurement du commutant

    11. program. Connexité et centralisateur

    12. Matrices régulières

    13. Réduction simultanée
        13.1. Cas de deux matrices
        13.2. Théorèmes d’Engel et de Lie
        13.3. Théorème de Kolchin
        13.4. Diagonalisation simultanée
        13.5. Poids et sous-espace poids
        13.6. l. a. représentation irréductible de sl(2, ℂ) de measurement n
        13.7. Conjugaison des p-Sylow

    14. Un autre element de vue sur los angeles réduction de Jordan. l. a. model K[X]-modules
        14.1. Théorème de Jordan et modules injectifs
        14.2. Modules simples et modules indécomposables
        14.3. los angeles suite exacte longue de Frobenius
        14.4. Modules injectifs et measurement infinie
        14.5. Qui est le plus fort ?
        14.6. Si l’on n’est pas encore convaincu
        14.7. Retour sur le commutant. program au bicommutant
        14.8. Les facteurs invariants et l. a. forme normale de Smith

    15. Matrices de Hessenberg
        15.1. Généralités
        15.2. Calcul du déterminant

    16. Le cas réel
        16.1. Généralités
        16.2. De certaines matrices régulières
        16.3. Jordanisation réelle
        16.4. Graphe d’une armoire à polynôme caractéristique réel et dans M(8, ℂ)
        16.5. L’armoire complexe
        16.6. los angeles sous-armoire réelle
        16.7. Connexité et periods de similitude réelles
        16.8. Racines carrées et logarithmes dans le cas réel

    17. Similitude et congruence. Les matrices symétriques réelles
        17.1. Généralités
        17.2. motion du groupe unitaire
        17.3. Matrices normales. Premières propriétés
        17.4. Matrices normales. Autres caractérisations
        17.5. Cas n = 2
        17.6. Théorème de Specht
        17.7. Matrices symétriques et antisymétriques réelles
        17.8. Hausdorffien d’un opérateur
        17.9. Théorème de Horn
        17.10. Théorème de Liapounov
        17.11. Matrices unitairement équivalentes

    18. Quelques exemples récapitulatifs
        18.1. Une diagonalisation explicite
        18.2. Une jordanisation effective
        18.3. Autre exemple
        18.4. Les ressorts de Trubowitz

    19. Laissés de côté

    20. Exercices

    21. Algèbres de Lie de size finie
        21.1. Introduction
        21.2. Vers los angeles définition abstraite d’une sous-algèbre de Cartan
        21.3. Les sous-algèbres de Cartan se ressemblent toutes dans le cas complexe
        21.4. Algèbres de Lie semi-simples. Algèbres de Lie résolubles
        21.5. Sous-algèbres de Cartan des algèbres de Lie semi-simples
        21.6. Orbites semi-simples et orbites génériques à los angeles lumière du choix d’une sous-algèbre de Cartan
        21.7. Plus loin avec le système de racines R(g, h)
        21.8. Petit appendice. Au sujet des systèmes de racines

    22. Les représentations irréductibles de size finie des algèbres de Lie semi-simples complexes
        22.1. Par ailleurs
        22.2. Multiplicités des poids
        22.3. Chambres de Weyl
        22.4. Récapitulons
        22.5. Retour sur les vecteurs primitifs
        22.6. Faisons maintenant le point
        22.7. l. a. variété des sous-algèbres de Borel
        22.8. Modules de Verma
        22.9. Représentations irréductibles fondamentales
        22.10. Représentations irréductibles et isomorphismes de Chevalley, Harish-Chandra et Duflo
        22.11. Idéaux primitifs

    23. Dernières considérations sur les orbites. Le cône nilpotent

    24. Appendice. Poincaré-Birkhoff-Witt
        24.1. Introduction
        24.2. l. a. démonstration du théorème de P.B.W.
        24.3. Retour sur l’algèbre graduée Gr(U(g))
        24.4. Quelques considérations sur U(sl(2, ℂ))
        24.5. Exercices

    25. Examens

    26. Postface

    27. Bibliographie

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