Réduction des endomorphismes : Tableaux de Young, Cône by Rached Mneimné
By Rached Mneimné
La réduite de Jordan et les tableaux de younger constituent le thème relevant du présent ouvrage. l. a. maîtrise de l. a. réduction s’acquiert par un retour attentif et critique sur les fondements, depuis les valeurs propres jusqu’à los angeles géométrie des periods de similitude. Ainsi l’apparente complexité du cas nilpotent s’estompe-t-elle lorsque l’on se ramène à l. a. combinatoire élémentaire des tableaux de younger. Le chemin est alors libre vers l’apprentissage des représentations de l’algèbre de Lie des matrices d’ordre deux de hint nulle, véritable génome de l. a. théorie des représentations des algèbres de Lie semi-simples. Les liens subtils entre los angeles réduction de Jordan et les sl₂-triplets sont alors mis à contribution pour comprendre l. a. constitution des algèbres de Lie semi-simples, leurs sous-algèbres de Cartan et les systèmes de racines qui leur sont associés. Les représentations irréductibles de size finie de ces algèbres de Lie sont étudiées et apparaissent alors comme un développement naturel de los angeles réduction simultanée.
Rached MNEIMNÉ est ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud et agrégé de mathématiques. Il est actuellement maître de conférences à l’Université Paris 7, Denis-Diderot, et membre de l’équipe « Théorie des groupes, représentations et applications » qui dépend de l’institut de mathématiques de Jussieu (UMR 7586). Il a publié en 1986, chez Hermann, avec Frédéric Testard, une creation à los angeles théorie des groupes de Lie classiques, et en 1997 un ouvrage sur les activities de groupes, chez Cassini, qui constitue le chapitre zéro de ses Éléments de géométrie.
Public concerné : Licence, grasp – Agrégation
Mathematics topic type (1991):
– 13A50 Invariant theory
– 14L30 staff activities on types or schemes (quotients)
– 15-XX Linear and multilinear algebra; matrix theory
– 17B10 illustration, algebraic thought (weights)
Sommaire :
1. Introduction
2. Manipulations premières sur los angeles relation de similitude
2.1. Similitude et rang
2.2. Similitude et PG-équivalence
2.3. Similitude et congruence
2.4. Fonctions polynomiales invariantes
2.5. Commutant d’une matrice et matrices de changement de base
3. Valeurs propres. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal
3.1. Généralités
3.2. Valeur, vecteur et sous-espace propres
3.3. Sous-espaces en somme directe et sous-espaces propres
3.4. Matrices diagonalisables
3.5. Le polynôme caractéristique
3.6. Théorème de Cayley-Hamilton
3.7. Théorème spectral et autre aspect de vue sur le théorème de Cayley-Hamilton
3.8. Le théorème spectral – Deux démonstrations
3.9. Discriminant du polynôme caractéristique
4. los angeles partition de M(n, ℂ) en sessions de similitude
4.1. los angeles partition donnée par l’égalité des polynômes caractéristiques
4.2. Description des sessions de similitude d’une même classe modulo P
5. l. a. suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young
5.1. Une suite qui s’essouffle
5.2. Tableaux de Young
5.3. Tableau de younger associé à une valeur propre
5.4. los angeles pratique de l. a. réduction de Jordan pour une matrice nilpotente
5.5. los angeles pratique de los angeles réduction de Jordan pour une matrice quelconque
6. Les matrices nilpotentes. Le cône nilpotent
6.1. Matrices nilpotentes
6.2. Filtration et gradué associés à un endomorphisme nilpotent
6.3. Le cône nilpotent. L’exemple des matrices d’ordre 8
6.4. Cône nilpotent et periods de similitude dans M(2, ℝ)
7. los angeles réduction de Jordan pour elle-même
7.1. Pratique et preuve
7.2. preparations possibles d’une base de Jordan
7.3. Degrés de liberté dans le choix d’une base de jordanisation. Les sl₂-triplets
7.4. Réduction de Jordan potent de ad(J_n)
8. Familles particulières de matrices. Les matrices de los angeles classe δ
8.1. Une première classe
8.2. Une seconde classe
9. software. Racines carrées de matrices
10. software au calcul de l. a. measurement du commutant
11. program. Connexité et centralisateur
12. Matrices régulières
13. Réduction simultanée
13.1. Cas de deux matrices
13.2. Théorèmes d’Engel et de Lie
13.3. Théorème de Kolchin
13.4. Diagonalisation simultanée
13.5. Poids et sous-espace poids
13.6. l. a. représentation irréductible de sl(2, ℂ) de measurement n
13.7. Conjugaison des p-Sylow
14. Un autre element de vue sur los angeles réduction de Jordan. l. a. model K[X]-modules
14.1. Théorème de Jordan et modules injectifs
14.2. Modules simples et modules indécomposables
14.3. los angeles suite exacte longue de Frobenius
14.4. Modules injectifs et measurement infinie
14.5. Qui est le plus fort ?
14.6. Si l’on n’est pas encore convaincu
14.7. Retour sur le commutant. program au bicommutant
14.8. Les facteurs invariants et l. a. forme normale de Smith
15. Matrices de Hessenberg
15.1. Généralités
15.2. Calcul du déterminant
16. Le cas réel
16.1. Généralités
16.2. De certaines matrices régulières
16.3. Jordanisation réelle
16.4. Graphe d’une armoire à polynôme caractéristique réel et dans M(8, ℂ)
16.5. L’armoire complexe
16.6. los angeles sous-armoire réelle
16.7. Connexité et periods de similitude réelles
16.8. Racines carrées et logarithmes dans le cas réel
17. Similitude et congruence. Les matrices symétriques réelles
17.1. Généralités
17.2. motion du groupe unitaire
17.3. Matrices normales. Premières propriétés
17.4. Matrices normales. Autres caractérisations
17.5. Cas n = 2
17.6. Théorème de Specht
17.7. Matrices symétriques et antisymétriques réelles
17.8. Hausdorffien d’un opérateur
17.9. Théorème de Horn
17.10. Théorème de Liapounov
17.11. Matrices unitairement équivalentes
18. Quelques exemples récapitulatifs
18.1. Une diagonalisation explicite
18.2. Une jordanisation effective
18.3. Autre exemple
18.4. Les ressorts de Trubowitz
19. Laissés de côté
20. Exercices
21. Algèbres de Lie de size finie
21.1. Introduction
21.2. Vers los angeles définition abstraite d’une sous-algèbre de Cartan
21.3. Les sous-algèbres de Cartan se ressemblent toutes dans le cas complexe
21.4. Algèbres de Lie semi-simples. Algèbres de Lie résolubles
21.5. Sous-algèbres de Cartan des algèbres de Lie semi-simples
21.6. Orbites semi-simples et orbites génériques à los angeles lumière du choix d’une sous-algèbre de Cartan
21.7. Plus loin avec le système de racines R(g, h)
21.8. Petit appendice. Au sujet des systèmes de racines
22. Les représentations irréductibles de size finie des algèbres de Lie semi-simples complexes
22.1. Par ailleurs
22.2. Multiplicités des poids
22.3. Chambres de Weyl
22.4. Récapitulons
22.5. Retour sur les vecteurs primitifs
22.6. Faisons maintenant le point
22.7. l. a. variété des sous-algèbres de Borel
22.8. Modules de Verma
22.9. Représentations irréductibles fondamentales
22.10. Représentations irréductibles et isomorphismes de Chevalley, Harish-Chandra et Duflo
22.11. Idéaux primitifs
23. Dernières considérations sur les orbites. Le cône nilpotent
24. Appendice. Poincaré-Birkhoff-Witt
24.1. Introduction
24.2. l. a. démonstration du théorème de P.B.W.
24.3. Retour sur l’algèbre graduée Gr(U(g))
24.4. Quelques considérations sur U(sl(2, ℂ))
24.5. Exercices
25. Examens
26. Postface
27. Bibliographie
Basic Abstract Algebra: For Graduate Students and Advanced by Robert B. Ash
By Robert B. Ash
This survey of fundamental algebraic buildings employs suggestions acceptable to arithmetic, physics, engineering, and laptop technology. issues contain relatives among teams and units, the basic theorem of Galois conception, and the implications and strategies of summary algebra when it comes to quantity concept, geometry, and noncommutative and homological algebra. recommendations. 2006 edition.
Quadratic mappings and Clifford algebras by Jacques Helmstetter, Artibano Micali
By Jacques Helmstetter, Artibano Micali
After a classical presentation of quadratic mappings and Clifford algebras over arbitrary jewelry (commutative, associative, with unit), different issues contain extra unique equipment: inside multiplications enable a good remedy of deformations of Clifford algebras; the family among automorphisms of quadratic kinds and Clifford algebras are in accordance with the concept that of the Lipschitz monoid, from which numerous teams are derived; and the Cartan-Chevalley conception of hyperbolic areas turns into even more basic, detailed and effective.
Lineare Algebra und Geometrie für Ingenieure: Eine by Prof. Dr. Manfred Andrié, Dipl.-Ing. Paul Meier (auth.)
By Prof. Dr. Manfred Andrié, Dipl.-Ing. Paul Meier (auth.)
Geometrisch anschauliche und anwendungsbezogene Darstellung mit zahlreichen praxisnahen Anwendungen sowie Übungen mit Lösungen.