By Gerd Fischer (auth.)
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Contact Geometry and Linear Differential Equations
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- Recent Trends in Lorentzian Geometry
- Foundations of Differential Geometry Set (Wiley Classics Library)
- First Course in Mathematical Analysis
- Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century (Springer Undergraduate Mathematics Series)
- Geometry from Euclid to Knots
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Jede Semiaffinität f: X ~ X ist eine Kollineation. Beweis. Ist Y C X eine Gerade, so ist nach Übungsaufgabe 2 T(f) T(Y) C T(X) ein Untervektorraum der Dimension I, also ist f(Y) C X wieder eine affine Gerade. 1. 3. 4. 1, Beispiele 2 und 3) umkehren kann. Dieses hat auch Anwendungen in der Relativitätstheorie (zur Begründung der Linearität der Lorentz·Transformationen, siehe [20]) und der geometrischen Optik (zum Nachweis, daß ein ideales optisches System weder vergrößern noch verkleinern kann, siehe [27]).
4. Quadriken Besonders sei auf zwei Eigenschaften der Hyperbel hingewesen, die gegenüber Ellipse und Parabel neu sind. Aus e > 1 folgt, daß es auch links von der Leitlinie L Punkte gibt, die der Abstandsbedingung genügen. Die Hyperbel ist also eine unzusammenhängende Kurve mit zwei "Ästen". Weiterhin nähert sich die Hyperbel rur großes lxi an die Geraden y == b ä x und y == - b äx beliebig nahe an. Jx2 - a2 explizit macht. Daher nennt man die beiden Geraden A und Ar Asymptoten. Übungsaufgabe 5.
Xn) 1-+ P(XI> ... ' xn) Definition. Eine Teilmenge Q C Kn heißt Quadrik (oder Hyperfliiche zweiter Ordnung), wenn es ein quadratisches Polynom P gibt, so daß Q = {(XI> ... ,xn)EKn : P(XI> ... ,xn) = O} Es ist vorteilhaft, die Quadrikengleichung durch Matrizen auszudrücken. Dazu sei ,'=(1) und lIoO aOI , . - . : : 1) mit ajj : =Qjj und aij : =aji : =~ Qij für i < j, wobei Qij die KoeffIzienten des Polynoms P sind. Dann ist A' symmetrisch, und es ist P(XI' ... ,xn) = tx'·A'·x' also Ist so nennt man A' die erweiterte Matrix A und x' den erweiterten Spaltenvektor x.