By Prof. Dr. M. J. Beckmann, Prof. Dr. H. P. Künzi, Dr. R. Landtwing (auth.)
Hiermit legen wir den zweiten Band der geplanten drei Teile der "Mathematik für Ökonomen" vor. Wie beim Band I über die research von Funktionen einer Veränderlichen haben wir eine auf die besonderen Bedürfnisse des Studiums der Wirtschaftswissen schaft und der Unternehmensforschung ausgerichtete Darstellung der linearen Algebra gewählt. Dabei haben wir uns bemüht, die mathematische Theorie mit Anwendungen aus diesen beiden Dis ziplinen zu verbinden. Beim vorliegenden Stoffgebiet ist es sinnvoll, zunächst in den Abschnitten 1-6 die Grundlagen zu schaffen und die Anwendungen in den Abschnitten 7-9 zusammenhängend zu bringen. Infolge der rasch fortschreitenden Entwicklung der mathe matischen Wirtschaftswissenschaft und der Unternehmensfor schung können wir keinen Anspruch auf Vollständigkeit der typi schen Modelle erheben, haben aber auf die Auswahl der Beispiele besondere Sorgfalt verwendet. Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, die Ausführungen über die lineare Algebra vor die Behandlung der Funktionen mit mehre ren Veränderlichen zu stellen, für die nun der Band III vorgesehen ist. Zum Studium dieses Bandes sind aber keine Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung notwendig. Der Inhalt des vorliegenden Bandes beruht auf Aufzeichnungen von Vorlesungen, die H.P. KÜNZI während mehrerer Jahre an der Universität Zürich gehalten hat. Die Abschnitte mit den ökono mischen Anwendungen stammen zum großen Teil aus Kursen von M. BEcKMANN, die an der Brown collage, der Universität Bonn und der Technischen Universität München veranstaltet wurden. Die eigentliche Ausarbeitung des Textes, die zahlreichen Ergän zungen und die geschicktere Anordnung des Stoffes hat Herr Dr.
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Aln) a 2n ... , amn ... bln) . . b2n bmn 29 Die Summe, beziehungsweise die Differenz C=A ±B wird definiert durch: a l2 ±b12 a f2 ±b22 all ±bll C = ( a fl ±b21 ... .. ami ±bml am2 ±bm2 aln±bln) a fn ±b2n . amn ±bmn Die Addition und Subtraktion zweier Matrizen ist also nur für solche Matrizen definiert, die beide gleichviele Zeilen und Spalten aufweisen. Zusammen mit der Transpositionsregel ergibt sich die folgende Eigenschaft : (A +B)'= A' +B' oder allgemein (A +B+ ... +H)'=A' +B' + ... +H' .
0 Aufgabe: Der Leser beweise die Umkehrung des Satzes 1, nämlich: Zwei lineare Räume der gleichen Dimension sind isomorph. Hinweis : Es genügt zu zeigen, daß ein linearer Raum V mit dirn V = n isomorph zum W ist. Definition 3: Gegeben seien drei lineare Räume U, V, W; f sei eine lineare Abbildung von U in V, und g sei eine solche von V in W. Die dadurch bestimmte lineare Abbildung von U in W wird das Produkt von fund g genannt und mit gof bezeichnet: (gof)(x)=g(f(x)) für XEU. Sind f : U~V, f1'/2: U~V, g: V~W und h: W~X lineare Abbildungen, dann gelten die folgenden Rechenregeln : ho(go f) = (hog)o f (1) Assoziativgesetz, gO(Af1+/1f2)=A g Of1+/1g0f2} .
Sie heißt eine ungerade Permutation, wenn a(a) eine ungerade Zahl ist. Das Vorzeichen des Produktes in (4) wird mit signa = (_1)a\O") bezeichnet. Beispiele: signao = (_1)1 = -1, ungerade Permutation, signa* = (_1)2 = + 1, gerade Permutation. 44 Die identische Permutation B ist eine gerade Permutation, denn es ist a(B) =0. Das Produkt zweier gerader oder zweier ungerader Permutationen ist eine gerade Permutation. Das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Permutation ist eine ungerade Permutation.