Der Goldene Schnitt by Albrecht Beutelspacher

By Albrecht Beutelspacher

Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale. Dabei ist der Goldene Schnitt kein isoliertes Phänomen, sondern in vielen Fällen das erste und somit einfachste nichttriviale Beispiel im Rahmen weiterführender Verallgemeinerungen. Ziel dieses Buches ist es, einerseits Beispiele des Goldenen Schnitts zu besprechen, andererseits weiterführende Wege aufzuzeigen.

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A) Die sechs Punkte mit den kartesischen Koordinaten (± 4>2, 0, 0), (0, ± 4>2,0), (0,0, ± 4>2) bilden ein Oktaeder. (b) Wahlen Sie eine Kante dieses Oktaeders aus und zeigen Sie, daB diese von einem Eckpunkt des Ikosaeders aus Aufgabe 1 im goldenen Schnitt geteilt wird. 3. Zeigen Sie: Die zwanzig Punkte (0, ±4>-1, ±4»,(±4>,O, ±4>-1), (±4>-1, ±4>,O),(±1, ±1, ±1) bilden die Eckpunkte eines Dodekaeders. 4. [schwierig] (a) Das Verhaltnis zwischen dem Kantenradius des Dodekaeders (also der Strecke zwischen dem Mittelpunkt einer Kante und dem Zentrum des Dodekaeders) und der hal ben Diagonale einer FOnfecksflache ist gleich dem goldenen Schnitt.

Sei dazu X der Mittelpunkt der Dreiecksseite AB (vgl. 3), und sei Y der Mittelpunkt der Seite Be. Dann gilt fur den Pol 0 der spira mirabilis: 0 ist der Schnittpunkt der Geraden ex und DY. 3. Zeigen Sie folgenden Schritt im Beweis der Behauptung 6: Es seien vier Strecken mit den langen a, b, c, d gegeben, und es gelte alb = c/d =: x. Dann gilt auch (a + c)/(b + d) = x. 4. Zeigen Sie: Auch die Mittelpunkte der Quadrate (aus der Konstruktion der golden en Spirale) liegen auf einer logarithmischen Spirale.

Haben die Seitenlangen das Verhaltnis V2 : 1. Das DIN A-Format hat namlich die definierende Eigenschaft. daB bei HaJbierung wiederein DIN A-Format entsteht. 2 Demgegenuber gilt fur das goldene Rechteck. daB nach AbspaJtung eines groBtmoglichen Quadrats wieder ein goJdenes Rechteck ubrigbJeibt. [Das ist klar; denn das "kleine" Rechteck hat ja die Seitenlangen a und cpa - a. ] 48 Der folgende, schon an sich sehr interessante Hilfssatz Ober das goldene Rechteck wird uns spater von groBem Nutzen sein.

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