By Chambadal L., Ovaert J.-L.
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Example text
V' c,;; V, sa ist W auch gesättigt in V' • Benerkung 3. Benutzt llBIl Offenbar ist ° in V genau darm gesättigt, wenn V torsicnsfrei ist. W torsicnsfrei ist. - Jedem unternodul WÇ. V läBt sieb in kancnischer weise ein in V gesättigter unternodul W, die ges ä t t i g t e unternodul der x E Hü 1 1 e von W in V,zuorànen. Wist der V, für die ein Niebtnullteiler a E A mit ax E. W existiert. IDg W = Wist äquivalent damit, daB W in V gesättigt ist. Aus W1 ~ W2 ç;. IDd W stets denselben Rang. Seien A ein HauptideaZbereich,V ein endZicher torsionsfreier A-ModuZ und V' ein in V gesättigter UntermoduZ von V .
ITalen Linksideale von A. Betrachten wir B e wei s. ein x E. -tH-A und ein a 1 - ax f A! #10 € M sind x, ax E 'IM-, darm aber E. ~, da andernfalls 1 = (1-ax) + ax E 'I'M- wäre. Es folgt, daB A(1-ax) in keinem i\oW€M enthalten ist. 5 ist A(1-ax) = A, und es gibt ein bE: A mit b(1-ax) = 1. sanit folgt (2) aus (1). Sei UllÇekehrt (2) erfüllt. Wir machen die Arlnahne x .. ~ . Es gibt darm ein #1. ~ M mit x Ax + M+ = A. Also gibt es eine Darstellung ax + y f =1 '\IW. Offenbar ist mit Elementen a E A, yE.
Ist n n l= l ein in V gesättigter Untenn:xlul des Ranges n. Erst recht ist dann 'ij gesättigt n in 'ijn+1 für alle n E IN+ • VoraussetzungsgemäB sind alle "n' n E. IN+, frei. S läBt sich jede Ba- sis von ij zu einer Basis van" 1 verlängeI:Tl. ]N+, in V derart, daB Y1""'Yn eine Basis von "n ist. Wegen V =Un€ IN + " n ist Y , n "' lN , eine Basis von V • n + Zur Definition der torsionslosen 1-bduln benutzen wir den Begriff der linearen Abbildung (vgl. § 3S). Seien A ein Ring und V ein A-1-bdul. V heiSt t o r s ion s l o s, wenn es zu je zwei Elerrenten x,y E.